混沌摆实验

【实验目的】

⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；

⒉通过振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解

⒊理解“蝴蝶效应”。

【预习思考题】

1、什么是混沌现象？

2、何谓蝴蝶效应？

【实验器材】

CI-6538转动传感器、ME-8750机械振荡器/驱动器、ME-8735大型杆支座、SE-9442多用夹、SE-9720直流电源、CI-6552A功率放大器

【实验原理】

⒈分岔与混沌理论

⑴ 逻辑斯蒂映射

为了认识混沌（chaos）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x表示。逻辑斯蒂映射是x--kx(1-x)。其中x是0和4之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统x_n+1=kx_n(1-x_n),n=0,1,2…我们发现：①当x小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时，随着k的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k在3.58左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条y=kx(1-x)的抛物线，再画一条y=x的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。

 

⑵逻辑斯蒂映射的分岔图

以k为横坐标，迭代200次以后的x值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。k从2.8增大到4。从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3，5，7…奇数及其倍周期6，10，14…的循环，混沌产生有序，或秩序从混沌中来。其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代，不是个别例子特有的，具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统（给系统建立确定论的动力学方程组）中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。

图2 逻辑斯蒂映射的分岔图。

⒉ 实验介绍

本实验的方法是利用机械振动器通过弹簧驱动物理摆(物理摆：物理学中的最简单谐振模型之一)。目的是理解一个物理摆同时受到回复力、阻尼力和驱动力时，它具有何种运动状态，即：速度与位置的关系。通过实验能够明白有驱动有阻尼情形时，物理的混沌现象。如图3-l所示，实验装置主要有下面几部分组成：铝盘、机械振荡驱动器、弦和弹簧、磁阻尼系统。实验中，铝盘作为物理摆，将两个数字旋转运动传感器(CI一6538)连接到科学工作室(TN750)的数据采集器上，利用旋转运动传感器来记录驱动力的角频率和铝盘的旋转角频率。如图3-2所示，将具有阻尼效果的一个磁铁安置在铝盘上，旋转的铝盘产生涡流电流，涡流电流产生磁场，磁场吸收铝盘上的磁铁的效应可看作铝盘所受到的阻尼力。改变小铜柱离轴的距离以及强磁铁到铝盘的距离，可以改变铝盘附近的磁场强度，近而可以改变物理摆的转动惯量以及小铜柱的力矩。因此，小铜柱离轴的距离的不确定可以看作初始条件具有的微小的不确定。

【实验内容及步骤】

一、设备安装：

1. 如图4将驱动器安装到底座上。将第一个转动传感器装到驱动器所在的那根金属杆上。请见图5中这个转动传感器的位置。

2. 旋转驱动器的转动臂，直到它垂直向下。系上一根绳子到转动臂上，将绳子穿过在驱动器上部的绳引导装置。接着将绳子完全缠绕在转动传感器的大滑轮上，将绳子的末端系在其中一根弹簧的一端，并让这一端靠近转动传感器。

3. 用两根竖直杆和一根水平杆交叉连接以增加稳定行。请见图5。

4. 安装第二个转动传感器到水平杆上。

5. 系一小段绳子(几厘米)到底座的校平平螺杆上，再把第二根弹簧的一段系在这个绳子上。

6. 切下一段长大约1.5m的绳子，在第二个转动传感器的中间的滑轮上绕两圈。见图6. 将圆盘用螺丝固定在这个转动传感器上。

7. 然后将这段绳子的两端分别系在两根弹簧的一端，要保证弹簧在每一边有大致相等的拉力，圆盘能够旋转180度，并且在旋转是两根弹簧的都不能碰到转动传感器的滑轮。

8. 安装磁阻附件到转动传感器的一侧，如Figure 4所示。调节磁阻上的螺丝，让磁阻距离圆盘大约1cm。

9. 安装图7所示连接驱动器的电路。在实验中，通过SW750接口上的信号发生器施加一个电压给驱动器。但是，因为驱动电机可能在低电压下停顿，为了能尽可能地得到最多的数据点，需要施加一个最小1V的直流补偿电压。

10. 把固定圆盘的转动传感器的插头插入SW750接口通道1和通道2，其中黄色插头插入通道1.把另一个转动传感器的插头插入SW750接口的通道3和通道4，其中黄色的插入通道3.将功率放大器连接到通道A。

11. 打开名为"Driven Harmonic"的Datastudio文件。

 

 

混沌摆

图4-7

二、实验过程

1、打开计算机中的science workshop界面，选取特殊分析函数中的平滑函数“smooth(n,x)”,使得图表中的横坐标为“角度”，纵坐标为“角速度”，来记录物理摆的角位移可速度的变化，即相空间轨迹。

2、缓慢调节磁阻尼系统，即小铜柱离轴的距离，可以依次观察到上述的混沌特征图形（相图）：单吸引子、1周期、双吸引子、2周期、4，8，16，32周期、…、5，7，9，11周期、…、3周期、6，10，14，18周期、…、12，20，28周期、…。如下面的图形所示：

【思考题】

1．通过本实验请阐述：倍周期分岔，混沌，奇怪吸引子等概念的物理含义。

【注意事项】

1、在测量弹簧常数的时候，动作幅度不可过大，防止弹簧被拉变形而损坏。

2、不可擅自拆卸仪器零部件，防止仪器损坏。

3、不得擅自修改线路和仪器设定参数。